В сезоне 2010/2011 Роман Кукумберг провел за «чёрно-белых» 13 матчей, в которых набрал 5 очков.
За свою карьеру Кукумберг играл BEZ Bratislava Юниорская лига Словакии, SHK «Danubia» Bratislava 1.liga Словакии, HK «Nitra» 1.liga Словакии, HK «Dukla» Trencin Extraliga Словакии, laquo;Нефтехимик» Нижнекамск, «Toronto Marlies» AHL, HC «Slovan» Bratislava Extraliga Словакии, «Лада» Тольятти и «Ак Барс» Казань. В 2004 году был задрафтован клубом NHL «Toronto Maple Leafs». В 2000 году в составе сборной Словакии U20 принимал участие в молодежном Чемпионате мира, в 2004, 2007 и 2010 годах участвовал в Чемпионатах мира в составе национальной сборной Словакии.
Также Кукумберг - участник матча всех звезд словацкой Экстралиги в сезонах 2003/2004 и 2006/2007. Двукратный чемпион Словакии в составе HK «Dukla» Trencin (2004) и HC «Slovan» Bratislava (2007). Причем, в HC «Slovan» Bratislava Роман Кукумберг выиграл чемпионство вместе с чешским нападающим Мареком Ворелом, который выступал за «Трактор» в сезонах 2007/2008 и 2008/2009. В сезоне 2008/2009 Роман Кукумберг в составе HC «Slovan» Bratislava принимал участие в Лиге Чемпионов.
Сезон 2009/2010 стал для Кукумберга одним из лучших в карьере. Начав год в тольяттинской «Ладе», словак к концу регулярного чемпионата перебрался в казанский «Ак Барс», с которым затем выиграл Кубок Гагарина. В плей-офф Кукумберг провел 20 матчей и набрал 6 очков. Всего в прошлом сезоне Роман Кукумберг сыграл 75 матчей, в которых набрал 30 очков. В чемпионатах России Кукумберг сыграл 147 матчей, в которых набрал 52 очка.